La première valeur propre du sublaplacien

Sur des variétés de Cauchy-Riemann

En géométrie riemannienne, il existe de nombreux résultats donnant des bornes pour les valeurs propres de l'opérateur de Laplace Beltrami.

Et vu l’analogie profonde entre la géométrie riemannienne conforme et la géométrie de Cauchy-Riemann(CR), il était naturel de prouver des résultats analogues pour l’opérateur de sublaplacien.

Le plan de ce livre est comme suit: dans le premier chapitre, on rappelle les notions de base des variétés riemanniennes.

Au second chapitre,on introduit le spectre d'une variété riemannienne.D'autre part on énonce la formule de Bochner-Lichnerowicz qui est la clé de la preuve du théorème d'André Lichnerowicz(1952).

Au chapitre 3,on introduit les variétés CR et on rappelle les définitions de la connexion de Tanaka-Webster, le tenseur de torsion associé et les différentes tenseurs de courbures.

A la fin de ce chapitre on donne une étude complète du groupe de Heisenberg qui est un exemple typique de variété CR.

Une formule analogue à celle de Bochner-Lichnerowicz dans le cas Riemannien est élaborée au chapitre 4, qui est l'un des outils fondamentaux pour prouver l'analogue du théorème de Lichnerowicz pour la géométrie CR: le théorème d’Allan Greenleaf (1985).