Analyse multifractale de la récurrence sur l’espace symbolique

La thermodynamique fait maintenant partie de la mécanique statistique science qui a été crée au 19 ème siècle par Kelvin, Maxwell, Gibbs.

Cette science enfante de la théorie des systèmes dynamiques qui verra ses premiers succès avec Poincarré puis Birkhoff et son théorème identifiant moyennes spatiales et temporelles.

Enfin Klomogorov et Sinai prendront à leur compte la notion d'entropie pour l'utiliser comme un invariant fondamental en théorie ergodique.

C'est ainsi qu'on commence par un chapitre qui expose les bases de la théorie ergodique et la preuve du théorème de Birkhoff.

Dans le second chapitre on établie l'existence des états d'équilibres en dynamique symbolique pour les potentiels réguliers, grâce au théorème de Ruelle-Perron-Frobenius.

Ensuite on introduit la notion de dimension pour l'appliquer par la suite à l'analyse multifractale dans un cadre symbolique.

Plus précisément, on relie la pression d'un potentiel $\phi$ aux dimensions de Hausdorff et de packing des ensembles de niveau de sommes de Birkhoff ce qui fait l'objet des résultats de Feng.

Enfin nous appliquons les résultats obtenus aux mesures Markoviennes définies sur l'intervalle [0,1].