Comportement Asymptotique d'un arbre aléatoire discret

Un arbre planaire enraciné est un sous ensemble qui possède une racine dont chaque sommet représente un individu contenant toujours son parent avec un nombre fini d’enfants.

Un arbre peut être codé à des fonctions appelées fonction de contour et fonction de hauteur obtenue en explorant l’arbre de gauche vers la droite à partir de la racine, et se déplaçant continûment le long des bords pour atteindre un sommet sur la même arrête.

A partir de ces fonctions discrètes, nous pouvons étudier le comportement asymptotique d’arbre en particulier un arbre de Galton‐Watson ou un mu‐arbre de Galton Watson de distribution mu.

Pour cela plusieurs relations ont eu lieu surtout sur la correspondance bijective entre l’ensemble de tous les arbres planaires enracinés A et l’ensemble de toutes suites finies d’entiers positifs S définie en 1.4 (1 ère partie) qui nous mène à des divers résultats.

Le processus de hauteur défini par concaténation des fonctions de hauteur d’une suite de mu‐arbre de Galton‐Watson dans le cas critique converge vers un mouvement brownien réfléchi.

Ensuite des résultats analogues ont été prouvés pour le processus de contour obtenus en concaténant les fonctions de contour.