Métriques naturelles sur le fibré tangent à une variété Riemannienne

Le fibré tangent à une variété joue un rôle clé en géométrie différentielle.

Il devient un espace Riemannien plus intéressant lorsqu'il est équipé de la métrique de Sasaki (la variété de base étant supposée Riemannienne).

Cependant, bien qu'elle soit définie de façon "naturelle" à partir de la métrique de base, la métrique de Sasaki présente une "rigidité extrême" vis à vis de la métrique de base; ceci a rendu naturel l'introduction d'autres métriques Riemanniennes sur le fibré tangent (la métrique de Cheeger-Gromoll et celles d'Oproiu en sont des exemples).

Ce travail a pour objet l'étude de la classe plus générale des "métriques naturelles" sur le fibré tangent: Ce sont celles obtenues lors de la classification des transformations naturelles du second ordre des métriques Riemanniennes sur les variétés en des métriques sur leurs fibrés tangents.

Ceci a permis, entre autres, de mettre en évidence des propriétés d'hérédité de ces métriques, une rigidité extrême des éléments d'une sous-classe de ces métriques et d'obtenir des structures géométriques intéressantes sur le fibré tangent muni d'une métrique naturelle d'un certain type.