Transformations de Jacobi-Dunkl et applications

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On considère sur la droite réelle, un opérateur différentiel et aux différences appelé opérateur de Jacobi-Dunkl.

Cet opérateur, comme les autres de type Dunkl, joue un rôle important dans la description, en mécanique quantique, des modèles exactement résolubles de Calogero-Morse-Sutherland.

Sa fonction propre admet une représentation intégrale de Laplace dont le noyau permet de définir les opérateurs de transmutation de Jacobi-Dunkl qu'on montre qu'ils sont positifs.

Ensuite, on établit pour la transformation de Jacobi-Dunkl, des formules d'inversion et un théorème de Paley-Wiener.

En utilisant les propriétés des opérateurs de transmutation et les estimations du noyau de la chaleur, on obtient une version des théorèmes de Cowling-Price et de Hardy pour la transformation de Jacobi-Dunkl.

Dans le cas d'un intervalle borné, on montre que la fonction propre, égale à 1 en zéro, de l'opérateur de Jacobi-Dunkl est un polynôme trigonométrique, lié aux polynômes de Jacobi.

Puis, on donne une représentation intégrale de Laplace de cette fonction appelée polynôme de Jacobi-Dunkl.

Enfin, on étudie l'analyse harmonique associée à cet opérateur.

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Frej CHOUCHENE est maître de conférences et ancien agrégé ès sciences mathématiques.

Il a enseigné dans les universités de Monastir et de Sousse, les mathématiques à tous les niveaux de la licence et du cycle préparatoire.

Il est également auteur de plusieurs travaux scientifiques liés à l'analyse harmonique et parus dans des revues spécialisées.

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