Déviation Homotopique et application

Nous avons étudié dans ce rapport la théorie de la déviation homotopique qui analyse le spectre de la famille de matrices A(t) = A + tE où A et E sont deux matrices données et t un paramètre complexe.

En théorie de perturbation classique t tend vers 0.

On peut voir facilement que ceci peut être un handicape lorsque |t| est de l’ordre de la précision machine: l’effet de la perturbation tE disparaît avec les erreurs de la précision finie et serait donc sans intérêt.

Dans la première partie de ce rapport on a vu que l’on peut obtenir des résultats inattendus lorsque |t| → ∞.

Ces résultats reflètent des effets non locaux induits par les caractéristiques de la matrice A.

En effet, on a défini deux sous ensembles de C qui ont un lien très étroit avec le spectre de la famille de matrices A(t).

L’ensemble des nombres complexes z qui ne peuvent pas être des valeurs propres de A(t) pour t complexe (les points critiques: C(A,E).

L'étude de l’existence des ces points est faite.

L’ensemble des nombres complexes z qui sont les limites finies des valeurs propres de A(t) pour |t| → ∞ (les points essentiels: N(A,E).

On a caractérisé cet ensemble pour des cas particuliers.